我最近连ç»ä»Žå‡ 本书ä¸çœ‹åˆ°åŒæ ·çš„æ¦‚率典故,ä¸å¾—ä¸æŠŠå®ƒå†™ä¸‹æ¥ã€‚人的直觉是一个éžå¸¸å¼ºå¤§çš„æ¦å™¨ï¼Œåœ¨å¾ˆå¤šæƒ…å†µä¸‹å¯ä»¥å¸®æˆ‘们ä¸éœ€è¦ç²¾å¯†è®¡ç®—就能åšå‡ºæ£ç¡®çš„判æ–。但是在人的众多直觉能力之ä¸ï¼Œä¸åŒ…æ‹¬æ¦‚çŽ‡ã€‚ä¸‹é¢æˆ‘说说这个典故。
  
  现代技术检测 HIV 病毒的准确度已ç»åˆ°äº†æƒŠäººçš„程度。如果一个人真是 HIV 阳性,血液检测的手段有 99.9% 的准确率,也就是说有 99.9% çš„å¯èƒ½æ€§æŠŠä»–这个阳性给检查出æ¥è€Œä¸æ¼ç½‘ã€‚å¦‚æžœä¸€ä¸ªäººä¸æºå¸¦ HIV,那么检测手段的精度更高,达到99.99% – 也就是说有 99.99% çš„å¯èƒ½æ€§ä¸ä¼šå†¤æž‰ä»–。
  
  现在å‡è®¾æˆ‘们éšä¾¿åœ¨è¡—å¤´æ‰¾ä¸€ä¸ªäººç»™ä»–åšæ£€æŸ¥ï¼Œå‘现检测结果是 HIV 阳性,那么请问这个人真有 HIV çš„å¯èƒ½æ€§æ˜¯å¤šå¤§å‘¢ï¼Ÿ
  
ã€€ã€€åœ¨ä½ å›žç”之å‰ï¼Œæˆ‘è¦æä¾›ä¸€ç‚¹èƒŒæ™¯èµ„æ–™ã€‚å¾·å›½é©¬æ™®ç ”ç©¶æ‰€çš„å¿ƒç†å¦å®¶æ›¾ç»æ‹¿è¿™é“é¢˜è€ƒäº†å¥½å‡ ç™¾äººï¼ŒåŒ…æ‹¬å¦ç”Ÿï¼Œæ•°å¦å®¶å’ŒåŒ»ç”Ÿã€‚结果 95% 的大å¦ç”Ÿå’Œ 40% 的医生(这些医生实际上都å—过这方é¢çš„专门è®ç»ƒï¼‰éƒ½ç»™å‡ºäº†é”™è¯¯çš„ç”æ¡ˆã€‚
  
ã€€ã€€å¦‚æžœä½ çœŸæ‡‚æ¦‚çŽ‡ï¼Œä½ ä¼šæƒ³åˆ°è¦ä½¿ç”¨è´å¶æ–¯å®šç†ï¼Œç„¶åŽä½ 会å‘现这é“题还缺少一个关键信æ¯ï¼šé‚£å°±æ˜¯ä¸€èˆ¬äººæ„ŸæŸ“ HIV 的概率。现在已知一般人感染 HIV 的概率是 0.01%ï¼Œä¹Ÿå°±æ˜¯è¯´ä¸€ä¸‡ä¸ªäººä¸æ‰æœ‰ä¸€ä¸ªäººæ„ŸæŸ“è¿™ç§ç—…æ¯’ã€‚æ ¹æ®ä»¥ä¸Šä¿¡æ¯ï¼Œè¿™ä½ä¸å¹¸è¢«æ£€æµ‹ä¸º HIV 感染者的朋å‹çœŸæœ‰ HIV çš„å¯èƒ½æ€§æ˜¯å¤šå°‘呢?
  
  æ£ç¡®ç”案是 50%。
  
  我先说è´å¶æ–¯å®šç†çš„算法,然åŽå†ç»™ä¸€ä¸ªæ›´ç›´è§‚的解释。è´å¶æ–¯å®šç†è¯´çš„就是æ¡ä»¶æ¦‚率。如果我们用 A 表示 “真有 HIVâ€ï¼ŒB 表示 “检测出 HIVâ€ï¼Œé‚£ä¹ˆæˆ‘们è¦è®¡ç®—的是 P(A|B)。 已知 P(A) = 0.01%, P(B|A)=99.9%。
  P(B) 需è¦è®¡ç®—一下,它ç‰äºŽ 0.01% x 99.9% [也就是有 HIV 而被查出æ¥çš„]+ 99.99% x 0.01% [也就是没有 HIV 但被冤枉的]。
  è´å¶æ–¯å®šç†è¯´ï¼ŒP(A|B) = P(B|A) x P(A) / P(B),计算结果ç‰äºŽ 0.5.
  
ã€€ã€€ç›´è§‚çš„è§£é‡Šæ˜¯è¿™æ ·çš„ã€‚å‡è®¾æˆ‘ä»¬éšæœºåœ°æ‰¾ä¸€ä¸‡ä¸ªäººæ¥åšå®žéªŒã€‚æ ¹æ® HIV 病毒的分布,这一万人ä¸åº”è¯¥åªæœ‰ä¸€ä¸ªäººæ˜¯çœŸæœ‰ HIV 的。而由于我们的检测手段很强,这个人会被检测出æ¥ã€‚但剩下的9999人都没有 HIVï¼Œå¯æ˜¯æˆ‘们对没有 HIV 的人的检测精度是 99.99%,也就是说有万分之一的å¯èƒ½æ€§ä¼šå†¤æž‰å¥½äººã€‚è¿™æ ·ä¸€æ¥ï¼Œæˆ‘们的检测手段还会在9999人ä¸å†¤æž‰ä¸€ä¸ªäººã€‚
  本æ¥åªæœ‰ä¸€äººæœ‰ HIVï¼Œå¯æ˜¯æˆ‘们崿£€æµ‹å‡ºæ¥ä¸¤äººã€‚所以如果一个人被检测出 HIV æ¥ï¼Œä»–真有 HIV çš„å¯èƒ½æ€§å…¶å®žåªæœ‰ 50%。
  
ã€€ã€€ä»Žæ ¹æœ¬ä¸Šè¯´ï¼Œé€ æˆè¿™ç§å±€é¢çš„åŽŸå› åœ¨äºŽ HIV 其实是一ç§ç½•è§çš„ç—…æ¯’ï¼Œåªæœ‰ä¸‡åˆ†ä¹‹ä¸€çš„æ„ŸæŸ“è€…ã€‚åœ¨è¿™ç§æƒ…况下å³ä½¿ä½ 的检测手段å†é«˜ï¼Œä¹Ÿå¾ˆæœ‰å¯èƒ½ä¼šå†¤æž‰äººã€‚下é¢å†ç»™ä¸€é“例题:
  
  1%的妇女有乳房癌(简称为C);80% 的有乳房癌的妇女会在乳房 x 射线照相检验 (mammographies, 简称Mï¼‰ä¸æˆé˜³æ€§ï¼›10%的没有乳房癌的妇女也会检测到M阳性。现在有一个妇女检测到了M阳性,请问她患有乳房癌的概率是多少?
ã€€ã€€ç”æ¡ˆï¼šP(C)=0.01; P(M|C)=0.8; P(M)=0.8*0.01+0.1*0.99=0.107,所以
   P(C|M)=P(M|C) P(C)/P(M)=8/107.
ã€€ã€€è¿™æ˜¯ä¸€ä¸ªå‡ºä¹Žæ„æ–™çš„å°æ•°ã€‚
  
  如果一个疾病比较罕è§ï¼Œé‚£ä¹ˆä½ å°±ä¸åº”该对阳性诊æ–特别有信心。
  
ã€€ã€€ç”±æ¤æˆ‘è”æƒ³åˆ°å½“åˆæ–‡é©æœŸé—´çš„“抓特务â€è¡ŒåŠ¨ã€‚â€œç‰¹åŠ¡â€è¿™ä¸ªå·¥ä½œçš„è¦æ±‚,其实贵在精而ä¸åœ¨å¤šï¼Œå†è¯´å›½æ°‘党也没那么多钱养,真æ£çš„特务其实是很少的。如果我们看到一个人长得åƒç‰¹åŠ¡ï¼Œè¯´è¯èµ°è·¯ä¹Ÿåƒç‰¹åŠ¡ï¼Œæˆ‘ä»¬æœ‰å¤šå¤§æŠŠæ¡è¯´ä»–就是特务呢?上é¢çš„两个概率例题告诉我们,“误诊率â€å¯ä»¥ç›¸å½“高。“抓特务â€ï¼Œæœ€å¥½çš„办法是冒出æ¥ä¸€ä¸ªæŠ“ä¸€ä¸ªï¼Œæœ€å¯æ€•的办法是æžâ€œäººäººè¿‡å…³â€ã€‚å¦‚æžœä½ æžâ€œäººäººè¿‡å…³â€ï¼Œå¿…ç„¶æ˜¯ä¸€å¤§å †å†¤å‡é”™æ¡ˆï¼
  
ã€€ã€€è¿™å°±æ˜¯æ¦‚çŽ‡ã€‚å“ªæ€•ä½ çš„åˆè¡·å†å¥½ï¼Œä½ 也会犯错ï¼
  
  –
ã€€ã€€æœ¬æ–‡ç¬¬ä¸€ä¸ªä¾‹åæ¥è‡ª The Social Atom 一书。
ã€€ã€€ç¬¬äºŒä¸ªä¾‹åæ¥è‡ª Super Crunchers 一书。
  å¦å¤–å¥½åƒ The Drunkard’s Walk 这本书里也有一个类似的例å。
  别人一而å†ï¼Œå†è€Œä¸‰åœ°å¼ºè°ƒï¼Œæˆ‘们岂å¯ä¸çŸ¥å‘¼ã€‚
  
冤å‡é”™æ¡ˆçš„æ•°å¦åŽŸç†
åŒäººäºŽé‡Ž
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#1 by Darren on 10月 22, 2009 - 9:53 上午
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ä½ æ¯å¤©éƒ½èŠ±å¾ˆé•¿æ—¶é—´è¯»ä¹¦å—?
#2 by åŒäººäºŽé‡Ž on 10月 24, 2009 - 1:35 下午
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åšä¸åˆ°æ¯å¤©éƒ½è¯»ï¼Œä½†æˆ‘å°½é‡å¤šè¯»ã€‚å…¶å®žåœ¨å…¬å…±æ±½è½¦ä¸Šå¬ audio book 是个好办法。
#3 by Leo on 11月 1, 2009 - 11:05 下午
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åšä¸»çœ‹çš„英文书很多啊~貌似基本ä¸çœ‹ä¸æ–‡çš„å’§
#4 by åŒäººäºŽé‡Ž on 11月 3, 2009 - 3:23 下午
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è°è¯´ä¸çœ‹ï¼Œæœ‰å¾ˆå¤šæˆ‘æƒ³çœ‹çš„ä¸æ–‡ä¹¦ï¼Œåªæ˜¯ä»Žå›½å†…è¿è¿‡æ¥å¾ˆéº»çƒ¦ï¼
#5 by 感谢驴å‹åˆ†äº« on 1月 26, 2010 - 3:28 下午
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这个表述应该是错的å§ï¼Ÿ
“也就是说有 99.9% çš„å¯èƒ½æ€§æŠŠä»–这个阳性给检查出æ¥è€Œä¸æ¼ç½‘。â€
改为“也就是说有 99.9% çš„å¯èƒ½æ€§æŠŠä»–æ‚£HIV给检查出æ¥è€Œä¸æ¼ç½‘。â€
#6 by åšä¸»æœ‰æ‰ on 2月 1, 2010 - 9:15 下午
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概率论课上å¦è¿‡ï¼Œå…ˆéªŒåŽéªŒæ¦‚率的问题
Pingback: [转]冤å‡é”™æ¡ˆçš„æ•°å¦åŽŸç† | å—«å—«å†å”¤
#7 by angela on 4月 7, 2010 - 11:14 上午
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en, 对é¢è¯•帮助很大ï¼
#8 by å°åƒ§ on 12月 14, 2010 - 12:25 下午
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0.5是约ç‰äºŽå§
#9 by Maigo on 12月 17, 2010 - 8:29 上午
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确实是约ç‰äºŽã€‚
#10 by 天天 on 5月 7, 2011 - 9:42 下午
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ä¸é”™,但是犯了一个致命的错误
对于å万个人æ¥è¯´,å个犯病,ä¹ä¸‡ä¹åƒä¹ç™¾ä¹å个人没犯病
ä½†æ˜¯é€šå¸¸åªæœ‰ä¹ä¸ªçŠ¯ç—…çš„ä¼šåŽ»åšæµ‹éªŒ,ä¹åä¸ªæ²¡ç—…çš„ä¼šåŽ»åšæµ‹éªŒ(è¿™ä¸ªæ•°æ®æˆ‘猜的真实的ä¸çŸ¥é“)所以应该是,å³ä½¿æœ€å¤šæœ‰ä¹åƒä¸ªäººåŽ»åš,乿œ‰ç™¾åˆ†ä¹‹ä¹å的概率是有犯的,æ•°å¦è®¡ç®—是没错,åªæ˜¯åº”ç”¨åˆ°å®žé™…è¦æ³¨æ„一些实际情况
#11 by Janese on 7月 10, 2011 - 1:33 上午
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Always the best content from these prdogiious writers.
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#12 by 阿舟 on 5月 25, 2013 - 12:52 下午
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å°å槽,最åŽä¸€ä¸ªå—æ˜¯ä¸æ˜¯åº”该是‘乎’……
#13 by qwreqwrewer on 7月 15, 2013 - 8:06 上午
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æ–‡é©é‡Œçš„æŠ“特务是å„é€ åæ´¾ä¸ºäº†è‡ªå·±çš„“政绩â€ï¼Œæ‰©å¤§åŠ¿åŠ›ï¼Œä»¥åŠæ‰“击å¦ä¸€æ´¾è€Œè¿›è¡Œçš„,其实他们æ‰ä¸ç®¡è¢«æ‰“çš„æ˜¯ä¸æ˜¯çœŸæ£çš„特务呢。
#14 by qwreqwrewer on 7月 15, 2013 - 8:14 上午
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æ‰€ä»¥æ–‡é©æ—¶çš„冤案å¯ä¸æ˜¯æ¦‚率问题,而是系统性å差。
#15 by Vanja on 9月 11, 2014 - 6:01 上午
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ç®—æ³•å¥½åƒæœ‰é—®é¢˜ã€‚如果血液检测的手段有100% çš„å‡†ç¡®çŽ‡ï¼ŒæŒ‰ç…§è¿™ä¸ªç®—æ³•è¿˜æ˜¯åªæœ‰å¤§çº¦50%çš„å¯èƒ½æ€§å¸¦æœ‰HIV。
#16 by Vanja on 9月 15, 2014 - 5:43 上午
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ä¸å¥½æ„æ€ï¼Œæˆ‘æžé”™äº†ã€‚