本文试图讨论的内容归结于下面这两个问题:

第一,如果让你花一块钱买一个概率为0.005%的赢取10000元的机会,你是否愿意买?

第二,如果让你花一块钱买一个概率为0.005%的避免损失10000元的机会,你是否愿意买?

据说现在高考都考概率了。如果上面两个问题是高考的判断题,任何一个知道概率是什么意思的人都会选择否,否。10000元乘以0.005%是0.5元,也就是说,这两个机会的“数学期望”只有0.5元。

第一个问题实际上说的是买彩票。据有人统计,价值一美元的彩票,在美国中头等大奖的概率平均是一亿七千五百万分之一。而头等奖的奖金平均是四千三百万美元。也就是说,如果你是冲着头等奖去的,那么一元彩票的真正价值只有0.24元。即使是把所有小奖项都加上,一元彩票最多也就值0.5元。这个结果其实是理所当然的,否则的话谁还会卖彩票?赌博也是一样,玩家赢钱的数学期望一定低于其所出的钱,否则谁还开赌场?彩票是不懂概率的人缴的税,买彩票是非理性行为,这似乎是板上钉钉的事实了。

但是同样的逻辑也适合于第二个问题。第二个问题说的实际上是买保险。我们买保险花的钱一定高于保险理赔的数学期望。否则保险公司就赔了。

绝大多数买彩票的人都是白花钱。绝大多数买保险的人也是白花钱。既然买彩票很愚蠢,那么买保险就不愚蠢么?买彩票的人至少支持了社会福利,而买保险的人只不过养肥了保险公司。

这就是本文想思考的问题,这个问题最近一直困扰我。既然彩票和保险都有市场,那么二者必然都有一定的合理性。我认为,“数学期望”这个概念对保险公司和彩票发行者来说很有意义,但是对我们这些只买一张彩票和一次保险的人来说并不是决定性的。

购买保险的最主要原因可能是输不起。房子被火烧没了对很多人来说是无法接受的局面,而相比之下保险费则是可以接受的。但这种输不起的精神很可能是非理性的,因为房子被火烧没了这种事情是非常,非常罕见的。Predictably Irrational 这本书的第七章,The High Price of Ownership, 说的就是我们总对自己已经拥有的东西产生感情,从而高估其价格 — 我们对“失去”的恐惧超过我们对“得到”的喜悦。很遗憾这本书没有分析人为什么要买保险。

而且“输不起”也不是绝对的。对很多人来说可能赢了一万元不值得特别高兴,输了一万元也不值得特别难过。那么如果不是一万是一百万呢?如果是一千呢?显然并不是所有的保险都值得购买。买个笔记本电脑,加点钱可以获得多几年的保修,很多人会判断不值。但你凭什么来决定“值得”的尺度呢?又或者如同数学期望计算的那样,所有保险都不值?

为避免重新发明轮子,我写此文之前曾用 Google 做了一点调查,看是否早有别人探讨过这个问题。在中文网页上没有得到什么有意义的结果:所有文章都在感慨买彩票的人太多太愚昧,而与此同时却呼吁大家买保险。如果这些文章说的是真的,也就是说中国有很多人买彩票却没有多少人买保险,那么显然中国人的“非理性”方向与“害怕失去”这个方向正好相反。

但是在英文网页搜索的结果大有收获,原来有很多经济学论文专门研究彩票和保险背后的理性因素。很多论文认为买彩票和赌博一样,并不是愚蠢行为。

买彩票,花一点小钱就可以玩个游戏,如果你考虑到游戏本身的乐趣,那么它就是值得的。但是花多少钱买彩票才合适?这可能就需要建立复杂的数学模型了。纽约大学商学院的Xavier Gabaix 似乎就做过这样的数学模型。

University of Minnesota 的 John A. Nyman 有篇论文很有意思,他的角度不是赌博的娱乐性,而是说同样多的钱,赌博赢来的其实比劳动挣来的价值要高,因为赌博的钱来得容易。(… the salient feature of a gamble to a consumer is not merely that it represents a vehicle for gaining additional income, but for gaining additional income without working for it.)你不能只考虑奖金的“面值”,还要考虑节省出来的劳动成本。

UCSD 的 John Conlisk 1993年发表在 Journal of Risk and Uncertainty 上的 The utility of gambling 则是从个人对风险的好恶角度分析了买彩票和买保险的行为。对于我这样的外行来说,此文的价值在它的引言部分,这里综述了前人对此的分析。原来早在1948年,Friedman 和 Savage 就已经用数学模型仔细考虑过这个问题。他们的基本假设是特别穷和特别富的人都倾向于规避风险(显然富人都买保险),而中间的人则倾向于追求风险(买彩票)。后人则修改了这个假设,比如 Markowitz 就认为对风险的接受程度其实跟财富的变化有关,而与这个人本身具有的财富大小无关。

我不想再继续深入这个讨论了。总之,买彩票并不那么愚蠢,买保险也并不那么理性。

更重要的是,仅凭数学期望去考虑问题是错误的。