学而时嘻之

本文试图讨论的内容归结于下面这两个问题：

第一，如果让你花一块钱买一个概率为0.005%的赢取10000元的机会，你是否愿意买？

第二，如果让你花一块钱买一个概率为0.005%的避免损失10000元的机会，你是否愿意买？

据说现在高考都考概率了。如果上面两个问题是高考的判断题，任何一个知道概率是什么意思的人都会选择否，否。10000元乘以0.005%是0.5元，也就是说，这两个机会的“数学期望”只有0.5元。

第一个问题实际上说的是买彩票。据有人统计，价值一美元的彩票，在美国中头等大奖的概率平均是一亿七千五百万分之一。而头等奖的奖金平均是四千三百万美元。也就是说，如果你是冲着头等奖去的，那么一元彩票的真正价值只有0.24元。即使是把所有小奖项都加上，一元彩票最多也就值0.5元。这个结果其实是理所当然的，否则的话谁还会卖彩票？赌博也是一样，玩家赢钱的数学期望一定低于其所出的钱，否则谁还开赌场？彩票是不懂概率的人缴的税，买彩票是非理性行为，这似乎是板上钉钉的事实了。

但是同样的逻辑也适合于第二个问题。第二个问题说的实际上是买保险。我们买保险花的钱一定高于保险理赔的数学期望。否则保险公司就赔了。

绝大多数买彩票的人都是白花钱。绝大多数买保险的人也是白花钱。既然买彩票很愚蠢，那么买保险就不愚蠢么？买彩票的人至少支持了社会福利，而买保险的人只不过养肥了保险公司。

这就是本文想思考的问题，这个问题最近一直困扰我。既然彩票和保险都有市场，那么二者必然都有一定的合理性。我认为，“数学期望”这个概念对保险公司和彩票发行者来说很有意义，但是对我们这些只买一张彩票和一次保险的人来说并不是决定性的。

购买保险的最主要原因可能是输不起。房子被火烧没了对很多人来说是无法接受的局面，而相比之下保险费则是可以接受的。但这种输不起的精神很可能是非理性的，因为房子被火烧没了这种事情是非常，非常罕见的。Predictably Irrational 这本书的第七章，The High Price of Ownership, 说的就是我们总对自己已经拥有的东西产生感情，从而高估其价格 — 我们对“失去”的恐惧超过我们对“得到”的喜悦。很遗憾这本书没有分析人为什么要买保险。

而且“输不起”也不是绝对的。对很多人来说可能赢了一万元不值得特别高兴，输了一万元也不值得特别难过。那么如果不是一万是一百万呢？如果是一千呢？显然并不是所有的保险都值得购买。买个笔记本电脑，加点钱可以获得多几年的保修，很多人会判断不值。但你凭什么来决定“值得”的尺度呢？又或者如同数学期望计算的那样，所有保险都不值？

为避免重新发明轮子，我写此文之前曾用 Google 做了一点调查，看是否早有别人探讨过这个问题。在中文网页上没有得到什么有意义的结果：所有文章都在感慨买彩票的人太多太愚昧，而与此同时却呼吁大家买保险。如果这些文章说的是真的，也就是说中国有很多人买彩票却没有多少人买保险，那么显然中国人的“非理性”方向与“害怕失去”这个方向正好相反。

但是在英文网页搜索的结果大有收获，原来有很多经济学论文专门研究彩票和保险背后的理性因素。很多论文认为买彩票和赌博一样，并不是愚蠢行为。

买彩票，花一点小钱就可以玩个游戏，如果你考虑到游戏本身的乐趣，那么它就是值得的。但是花多少钱买彩票才合适？这可能就需要建立复杂的数学模型了。纽约大学商学院的Xavier Gabaix 似乎就做过这样的数学模型。

University of Minnesota çš„ John A. Nyman 有篇论文很有意思，他的角度不是赌博的娱乐性，而是说同样多的钱，赌博赢来的其实比劳动挣来的价值要高，因为赌博的钱来得容易。（… the salient feature of a gamble to a consumer is not merely that it represents a vehicle for gaining additional income, but for gaining additional income without working for it.）你不能只考虑奖金的“面值”，还要考虑节省出来的劳动成本。

UCSD 的 John Conlisk 1993年发表在 Journal of Risk and Uncertainty 上的 “The utility of gambling” 则是从个人对风险的好恶角度分析了买彩票和买保险的行为。对于我这样的外行来说，此文的价值在它的引言部分，这里综述了前人对此的分析。原来早在1948年，Friedman 和 Savage 就已经用数学模型仔细考虑过这个问题。他们的基本假设是特别穷和特别富的人都倾向于规避风险（显然富人都买保险），而中间的人则倾向于追求风险（买彩票）。后人则修改了这个假设，比如 Markowitz 就认为对风险的接受程度其实跟财富的变化有关，而与这个人本身具有的财富大小无关。

我不想再继续深入这个讨论了。总之，买彩票并不那么愚蠢，买保险也并不那么理性。

更重要的是，仅凭数学期望去考虑问题是错误的。